K倍区间

Problem Statement

给定一个长度为 $N$ 的数列，$A_1,A_2, \cdots A_N$，如果其中一段连续的子序列 $A_i,A_{i+1}, \cdots A_j(i \le j)$ 之和是 $K$ 的倍数，我们就称这个区间 $[i,j]$ 是 $K$ 倍区间。

你能求出数列中总共有多少个 $K$ 倍区间吗？

Input

第一行包含两个整数 $N$ 和 $K$$(1 \le N,K \le 10^5)$。

以下 $N$ 行每行包含一个整数 $A_i$$(1 \le A_i \le 10^5)$。

Output

输出一个整数，代表 $K$ 倍区间的数目。

Sample Input

Sample Output

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Constrains

时限 2 秒, 256M。蓝桥杯 2017 年第八届

Solving

首先我们注意到直接暴力枚举会超时O($N^2$)

所以我们需要考虑O(N)复杂度的做法，我们容易发现一个性质，如果两个前缀和 prefix[i]和prefix[j],他们若%k的结果相同，那么他们两个相减一定会有:

$$ (prefix[j] - prefix[i])\%k=0 $$

所以我们可以维护一个桶，记录每个前缀和%k余数的个数，最后对每个桶中的出现次数计算C(x,2)并相加即可，注意，当一个数直接是k的倍数时，以它本身作为的长度为一的区间也算一个有效区间，这样我们仅需要初始化mp[0]=1, 这样在计算C(x,2)时，才会计算出正确答案

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const int N = 1e5+10;
const int M = 0;
int n,k; 
void solve()
{
    cin >> n >> k;
    int arr[n+1];
    for(int i=1;i<=n;i++) cin >> arr[i];
    int prefix[n+1];
    map<int,int> mp;
    mp[0] = 1;//一个数也算有效区间
    for(int i=1;i<=n;i++) prefix[i] = prefix[i-1] + arr[i];
    int ans = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {   
        mp[prefix[i]%k]++;//记录余数出现的次数
    }
    for(auto x : mp)
    {
        int val = x.second;
        ans += (val*(val-1))/2;//计算每个桶下的C(val,2)
    }
    cout << ans;
}